El objetivo del problema cinematico inverso consiste en encontrar los valores que deben adoptar las coordenadas articulares del robot q=(q1, q2,..., qn)exp. T para que su extremo se posicione y oriente según una determinada localización espacial.
Así como es posible abordar el problema cinematico directo de una manera sistemática a partir de la utilización de matrices de transformación homogéneas, e independientemente de la configuración del robot, no ocurre lo mismo con el problema cinemático inverso, siendo el procedimiento de obtención de las ecuaciones fuertemente dependiente de la configuración del robot.
Así como es posible abordar el problema cinematico directo de una manera sistemática a partir de la utilización de matrices de transformación homogéneas, e independientemente de la configuración del robot, no ocurre lo mismo con el problema cinemático inverso, siendo el procedimiento de obtención de las ecuaciones fuertemente dependiente de la configuración del robot.
Se han desarrollado algunos procedimientos genéricos susceptibles de ser programados, de modo que un computador pueda, a partir del conocimiento de la cinemática del robot (con sus parámetros de DH, por ejemplo) obtener la n-upla de valores articulares que posicionan y orientan su extremo.
El inconveniente de estos procedimientos es que se trata de métodos numéricos iterativos, cuya velocidad de convergencia e incluso su convergencia en si no esta siempre garantizada.
A la hora de resolver el problema cinematico inverso es mucho más adecuado encontrar una solución cerrada. Esto es, encontrar una relación matemática explicita de la forma:
qk = Fk( x, y, z, a, ß, g )
K = 1...n ( grados de libertad )
K = 1...n ( grados de libertad )
Este tipo de solución presenta, entre otras, las siguientes ventajas:
1. En muchas aplicaciones, el problema cinematico inverso ha de resolverse en tiempo real (por ejemplo, en el seguimiento de una determinada trayectoria). Una solución de tipo iterativo no garantiza tener la solución en el momento adecuado.
2. Al contrario de lo que ocurría en el problema cinematico directo, con cierta frecuencia la solución del problema cinematico inverso no es única; existiendo diferentes n-uplas(q1,...,qn)exp T que posicionan y orientan el extremo del robot de mismo modo. En estos casos una solución cerrada permite incluir determinadas reglas o restricciones que aseguren que la solución obtenida sea la mas adecuada posible.
No obstante, a pesar de las dificultades comentadas, la mayor parte de los robots poseen cinemáticas relativamente simples que facilitan en cierta medida la resolución de su problema cinematico inverso.
Por ejemplo si se consideran solo tres primeros grados de libertad de muchos robots, estos tienen una estructura planar, esto es, los tres primeros elementos quedan contenidos en un plano.
Esta circunstancia facilita la resolución del problema. Asimismo, en muchos robots se da la circunstancia de que los tres grados de libertad últimos, dedicados fundamentalmente a orientar el extremo del robot, correspondan a giros sobre los ejes que se cortan en un punto.
1. En muchas aplicaciones, el problema cinematico inverso ha de resolverse en tiempo real (por ejemplo, en el seguimiento de una determinada trayectoria). Una solución de tipo iterativo no garantiza tener la solución en el momento adecuado.
2. Al contrario de lo que ocurría en el problema cinematico directo, con cierta frecuencia la solución del problema cinematico inverso no es única; existiendo diferentes n-uplas(q1,...,qn)exp T que posicionan y orientan el extremo del robot de mismo modo. En estos casos una solución cerrada permite incluir determinadas reglas o restricciones que aseguren que la solución obtenida sea la mas adecuada posible.
No obstante, a pesar de las dificultades comentadas, la mayor parte de los robots poseen cinemáticas relativamente simples que facilitan en cierta medida la resolución de su problema cinematico inverso.
Por ejemplo si se consideran solo tres primeros grados de libertad de muchos robots, estos tienen una estructura planar, esto es, los tres primeros elementos quedan contenidos en un plano.
Esta circunstancia facilita la resolución del problema. Asimismo, en muchos robots se da la circunstancia de que los tres grados de libertad últimos, dedicados fundamentalmente a orientar el extremo del robot, correspondan a giros sobre los ejes que se cortan en un punto.
De nuevo esta situación facilita el calculo de la n-upla (q1,...,qn)exp. T correspondiente a la posición y orientación deseadas. Por lo tanto, para los casos citados y otros, es posible establecer ciertas pautas generales que permitan plantear y resolver el problema cinematico inverso de una manera sistemática.
Los métodos geométricos permiten tener normalmente los valores de las primeras variables articulares, que son las que consiguen posicionar el robot. Para ello utilizan relaciones trigonometrías y geométricas sobre los elementos del robot.
Se suele recurrir a la resolución de triángulos formados por los elementos y articulaciones del robot.
Como alternativa para resolver el mismo problema se puede recurrir a manipular directamente las ecuaciones correspondientes al problema cinematico directo. Es decir, puesto que este establece la relación:
Los métodos geométricos permiten tener normalmente los valores de las primeras variables articulares, que son las que consiguen posicionar el robot. Para ello utilizan relaciones trigonometrías y geométricas sobre los elementos del robot.
Se suele recurrir a la resolución de triángulos formados por los elementos y articulaciones del robot.
Como alternativa para resolver el mismo problema se puede recurrir a manipular directamente las ecuaciones correspondientes al problema cinematico directo. Es decir, puesto que este establece la relación:
Tij =
n o a p
0 0 0 1
n o a p
0 0 0 1
Donde los elementos Tij son funciones de las coordenadas articulares (q1,...,qn)exp. T, es posible pensar que mediante ciertas combinaciones de las ecuaciones planteadas se puedan despejar las n variables articulares qi en función de las componentes de los vectores n, o, a y p.
Por ultimo, si se consideran robots con capacidad de posicionar y orientar su extremo en el espacio, esto es, robots con 6 grados de libertad, el método de desacoplamiento cinematico permite, para determinados tipos de robots, resolver los primeros grados de libertad, dedicados al posicionamiento, de una manera independiente a la resolución de los últimos grados de libertad, dedicados a la orientación.
Cada uno de estos dos problemas simples podrá ser tratado y resuelto por cualquier procedimiento.
Cada uno de estos dos problemas simples podrá ser tratado y resuelto por cualquier procedimiento.
Resolución del problema cinematico inverso por métodos geométricos.
Como se ha indicado, este procedimiento es adecuado para robots de pocos grados de libertad o para el caso de que se consideren solo los primeros grados de libertad, dedicados a posicionar el extremo.
El procedimiento en si se basa en encontrar suficiente numero de relaciones geométricas en las que intervendrán las coordenadas del extremo del robot, sus coordenadas articulares y las dimensiones físicas de sus elementos.
Para mostrar el procedimiento a seguir se va a aplicar el método a la resolución del problema cinematico inverso de un robot con 3 grados de libertad de rotación (estructura típica articular). El dato de partida son las coordenadas (Px, Py, Pz) referidas a (S0) en las que se requiere posicionar su extremo.
Como se ve este robot posee una estructura planar, quedando este plano definido por el ángulo de la primera variable articular q1.
El valor de q1 se obtiene inmediatamente como:
El procedimiento en si se basa en encontrar suficiente numero de relaciones geométricas en las que intervendrán las coordenadas del extremo del robot, sus coordenadas articulares y las dimensiones físicas de sus elementos.
Para mostrar el procedimiento a seguir se va a aplicar el método a la resolución del problema cinematico inverso de un robot con 3 grados de libertad de rotación (estructura típica articular). El dato de partida son las coordenadas (Px, Py, Pz) referidas a (S0) en las que se requiere posicionar su extremo.
Como se ve este robot posee una estructura planar, quedando este plano definido por el ángulo de la primera variable articular q1.
El valor de q1 se obtiene inmediatamente como:
q1 = arctg ( Py / Px )
Considerando ahora únicamente los dos elementos 2 y 3 que están situados en un plano y utilizando el teorema del coseno, se tendrá:
r² = ( Px )² + ( Py )²
r² + ( Px )² = ( I2 )² + ( I3 )² + 2( I2 )( I3 )cosq3
cosq3 = ( Px )² + ( Py )² + ( Pz )² - ( I2 )² - ( I3 )² / 2( I2 )( I3 )
Esta expresión permite obtener q1 en función del vector de posición del extremo P. No obstante, por motivos de ventajas computacionales, es más conveniente utilizar la expresión de la arco tangente en lugar del arco seno.
Puesto que:
sen q3 = ± ( 1 - cos²q3 )½
Se tendrá que:
q3 = arctg ( ± ( 1 - cos²q3 )½ / cosq3 )
cosq3 = ( Px )² + ( Py )² + ( Pz )² - ( I2 )² - ( I3 )² / 2( I2 )( I3 )
Como se ve, existen dos posibles soluciones para q3 según se tome el signo positivo o negativo de la raíz. Estas corresponden a las configuraciones de codo arriba y codo abajo del robot.
r² = ( Px )² + ( Py )²
r² + ( Px )² = ( I2 )² + ( I3 )² + 2( I2 )( I3 )cosq3
cosq3 = ( Px )² + ( Py )² + ( Pz )² - ( I2 )² - ( I3 )² / 2( I2 )( I3 )
Esta expresión permite obtener q1 en función del vector de posición del extremo P. No obstante, por motivos de ventajas computacionales, es más conveniente utilizar la expresión de la arco tangente en lugar del arco seno.
Puesto que:
sen q3 = ± ( 1 - cos²q3 )½
Se tendrá que:
q3 = arctg ( ± ( 1 - cos²q3 )½ / cosq3 )
cosq3 = ( Px )² + ( Py )² + ( Pz )² - ( I2 )² - ( I3 )² / 2( I2 )( I3 )
Como se ve, existen dos posibles soluciones para q3 según se tome el signo positivo o negativo de la raíz. Estas corresponden a las configuraciones de codo arriba y codo abajo del robot.
El calculo de q2 se hace a partir de la diferencia entre ß y a:
q2 = ß - a
Siendo:
ß = arctg ( Pz / r ) = arctg ( Pz / ± ( ( px )² + ( Py )² )½ )
a = arctg ( I3 senq3 / I2 + I3 cosq3 )
Luego finalmente:
q2 = arctg ( Pz / ± ( ( px )² + ( Py )² )½ ) - arctg ( I3 senq3 / I2 + I3 cosq3)
De nuevo los dos posibles valores según la elección del signo dan lugar a dos valores diferentes de q2 correspondientes a las configuraciones codo arriba y abajo.
q2 = ß - a
Siendo:
ß = arctg ( Pz / r ) = arctg ( Pz / ± ( ( px )² + ( Py )² )½ )
a = arctg ( I3 senq3 / I2 + I3 cosq3 )
Luego finalmente:
q2 = arctg ( Pz / ± ( ( px )² + ( Py )² )½ ) - arctg ( I3 senq3 / I2 + I3 cosq3)
De nuevo los dos posibles valores según la elección del signo dan lugar a dos valores diferentes de q2 correspondientes a las configuraciones codo arriba y abajo.
Resolución del problema cinematico inverso a partir de la matriz de transformación homogénea.
En principio es posible tratar de obtener el modelo cinematico inverso de un robot a partir del conocimiento de su modelo directo.
Es decir, suponiendo conocidas las relaciones que expresan el valor de la posición y orientación del extremo del robot en función de sus coordenadas articulares, obtener por manipulación de aquellas las relaciones inversas.
Es decir, suponiendo conocidas las relaciones que expresan el valor de la posición y orientación del extremo del robot en función de sus coordenadas articulares, obtener por manipulación de aquellas las relaciones inversas.
Sin embargo, en la practica esta tarea no es trivial siendo en muchas ocasiones tan compleja que obliga a desecharla. Además, puesto que el problema cinematico directo, resuelto a través de Tij contiene en el caso de un robot de 6 grados de libertad 12 ecuaciones, y se busca solo 6 relaciones (una por cada grado de libertad), existirá, necesariamente ciertas dependencias entre las 12 expresiones de partida con lo cual la elección de las ecuaciones debe hacerse con sumo cuidado.
Se va a aplicar este procedimiento al robot de 3 grados de libertad de configuración esférica (2 giros y un desplazamiento) mostrado en la figura. El robot queda siempre contenido en un plano determinado por el ángulo q1.
Se va a aplicar este procedimiento al robot de 3 grados de libertad de configuración esférica (2 giros y un desplazamiento) mostrado en la figura. El robot queda siempre contenido en un plano determinado por el ángulo q1.
El primer paso a dar para resolver el problema cinematico inverso es obtener Tij correspondiente a este robot. Es decir, obtener la matriz T que relaciona el sistema de referencia (S0) asociado a la base con el sistema de referencia (S3) asociado a su extremo.
La siguiente figura muestra la asignación de sistemas de referencia según los criterios de DH con el robot situado en su posición de partida (q1 = q2 = 0), y la tabla muestra los valores de los parámetros de DH.
A partir de estos es inmediato obtener las matrices A y la matriz T.
Obtenida la expresión de T en función de las coordenadas articulares (q1, q2, q3), y supuesta una localización de destino para el extremo del robot definida por los vectores n, o, a y p se podría intentar manipular directamente las 12 ecuaciones resultantes de T a fin de despejar q1, q2, y q3 en función de n, o, a y p.
La siguiente figura muestra la asignación de sistemas de referencia según los criterios de DH con el robot situado en su posición de partida (q1 = q2 = 0), y la tabla muestra los valores de los parámetros de DH.
A partir de estos es inmediato obtener las matrices A y la matriz T.
Obtenida la expresión de T en función de las coordenadas articulares (q1, q2, q3), y supuesta una localización de destino para el extremo del robot definida por los vectores n, o, a y p se podría intentar manipular directamente las 12 ecuaciones resultantes de T a fin de despejar q1, q2, y q3 en función de n, o, a y p.
Parámetros DH del robot polar de 3 GDL. |
Articulación |
q |
d |
a |
a |
1 |
q1 |
I1 |
0 |
90° |
2 |
q2 |
0 |
0 |
-90° |
3 |
0 |
q3 |
0 |
0 |
Sin embargo, este procedimiento directo es complicado, apareciendo ecuaciones trascendentes. En lugar de ello, suele ser más adecuado aplicar el siguiente procedimiento:
Puesto que T = 0A1 ( 1A2 )( 2A3 ), se tendrá que:
( 1 / 0A1 ) T = 1A2( 2A3 )
( 1 / 1A2 ) ( 1 / 0A1 ) T = 2A3
( 1 / 1A2 ) ( 1 / 0A1 ) T = 2A3
Puesto que:
T =
n o a p
0 0 0 1Es conocida, los miembros a la izquierda en las expresiones anteriores, son función de las variables articulares (qk+1,...,qn).
De modo, que la primera de las expresiones se tendrá q1 aislado del resto de las variables articulares y tal vez será posible obtener su valor sin la complejidad que se tendría abordando directamente la manipulación de la expresión T. A su vez, una vez obtenida q1, la segunda expresión anterior (2A3), permitirá tener el valor de q2 aislado respecto de q3. Por ultimo, conocidos q1 y q2 se podrá obtener q3 de la expresión T sin excesiva dificultad.
Para poder aplicar este procedimiento, es necesario en primer lugar obtener las inversas de las matrices, i-1Ai. Esto es sencillo si se considera que la inversa de una matriz viene dada por:
T =
n o a p
0 0 0 1Es conocida, los miembros a la izquierda en las expresiones anteriores, son función de las variables articulares (qk+1,...,qn).
De modo, que la primera de las expresiones se tendrá q1 aislado del resto de las variables articulares y tal vez será posible obtener su valor sin la complejidad que se tendría abordando directamente la manipulación de la expresión T. A su vez, una vez obtenida q1, la segunda expresión anterior (2A3), permitirá tener el valor de q2 aislado respecto de q3. Por ultimo, conocidos q1 y q2 se podrá obtener q3 de la expresión T sin excesiva dificultad.
Para poder aplicar este procedimiento, es necesario en primer lugar obtener las inversas de las matrices, i-1Ai. Esto es sencillo si se considera que la inversa de una matriz viene dada por:
inversa |
nx ox ax Px ny oy ay Py nz oz az Pz 0 0 0 1 |
= |
nx ox ax -n(exp)T(P) ny oy ay -o(exp)T(P) nz oz az -a(exp)T(P) 0 0 0 1 |
1 / ( 0A1 ) inversa |
C1 0 S1 0 S1 0 -C1 0 0 1 0 I1 0 0 0 1 |
= |
C1 S1 0 0 0 0 1 -I1 S1 -C1 0 0 0 0 0 1 |
1 / ( 1A2 ) inversa |
C2 0 -S2 0 S2 0 C2 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 |
= |
C2 S2 0 0 0 0 -1 0 -S2 C2 0 0 0 0 0 1 |
1 / ( 2A3 ) inversa |
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 q3 0 0 0 1 |
= |
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 -q3 0 0 0 1 |
Por lo tanto, utilizando la primera de las ecuaciones definidas al principio del tema, se tiene que:
( 1 / 0A1 ) 0T3 = 1A3 ( 2A3 ) = |
C2 0 -S2 -S2q3 S2 0 C2 C2q3 0 -1 0 0 0 0 0 1 |
De las 12 relaciones establecidas en la ecuación anterior, interesan aquellas que expresan q1 en función de constantes. Así por ejemplo se tiene:
S1 ( Px ) - C1 ( Py ) = 0
tan( q1 ) = ( Py / Px )
q1 =arctg ( Py / Px )
tan( q1 ) = ( Py / Px )
q1 =arctg ( Py / Px )
Se tiene finalmente:
q2 = arctg( ( ( Px )² + ( Py )² )½ / ( I1 – Pz ))
q3 = C2 ( Pz - I1 ) - S2 ( ( Px )² + ( Py )² )½
q3 = C2 ( Pz - I1 ) - S2 ( ( Px )² + ( Py )² )½
Las expresiones anteriores corresponden a la solución del problema cinematico inverso del robot considerado.
A los mismos resultados se podría haber llegado mediante consideraciones geométricas.
A los mismos resultados se podría haber llegado mediante consideraciones geométricas.
Desacoplo cinematico.
Los procedimientos vistos en los apartados anteriores permiten obtener los valores de las 3 primeras variables articulares del robot, aquellas que posicionan su extremo en las coordenadas (Px, Py, Pz) determinadas, aunque pueden ser igualmente utilizadas para la obtención de las 6 a costa de una mayor complejidad.
Ahora bien, como es sabido, en general no basta con posicionar el extremo del robot en un punto del espacio, sino que casi siempre es preciso también conseguir que la herramienta que aquel porta se oriente de una manera determinada.
Para ello, los robots cuentan con otros tres grados de libertad adicionales, situados al final de la cadena cinemática y cuyos ejes, generalmente, se cortan en un punto, que informalmente se denomina muñeca del robot.
Ahora bien, como es sabido, en general no basta con posicionar el extremo del robot en un punto del espacio, sino que casi siempre es preciso también conseguir que la herramienta que aquel porta se oriente de una manera determinada.
Para ello, los robots cuentan con otros tres grados de libertad adicionales, situados al final de la cadena cinemática y cuyos ejes, generalmente, se cortan en un punto, que informalmente se denomina muñeca del robot.
Si bien la variación de estos tres últimos grados de libertad origina un cambio en la posición final del extremo real del robot, su verdadero objetivo es poder orientar la herramienta del robot libremente en el espacio.
El método de desacoplo cinematico saca partido de este hecho, separando ambos problemas: Posición y orientación. Para ello, dada una posición y orientación final deseadas, establece las coordenadas del punto de corte de los 3 últimos ejes (muñeca del robot) calculándose los valores de las tres primeras variables articulares (q1, q2, q3) que consiguen posicionar este punto.
A continuación, a partir de los datos de orientación y de los ya calculados (q1, q2, q3) obtiene los valores del resto de las variables articulares.
El método de desacoplo cinematico saca partido de este hecho, separando ambos problemas: Posición y orientación. Para ello, dada una posición y orientación final deseadas, establece las coordenadas del punto de corte de los 3 últimos ejes (muñeca del robot) calculándose los valores de las tres primeras variables articulares (q1, q2, q3) que consiguen posicionar este punto.
A continuación, a partir de los datos de orientación y de los ya calculados (q1, q2, q3) obtiene los valores del resto de las variables articulares.
Parámetros DH del robot de la figura. |
Articulación |
q |
d |
a |
a |
1 |
Ø1 |
I1 |
0 |
-90° |
2 |
Ø2 |
0 |
I2 |
0 |
3 |
Ø3 |
0 |
0 |
90° |
4 |
Ø4 |
I3 |
0 |
-90° |
5 |
Ø5 |
0 |
0 |
90° |
6 |
Ø6 |
I4 |
0 |
0 |
En la figura se representa un robot que reúne las citadas características, con indicación de los sistemas de coordenadas asociados según el procedimiento de Denavit-Hartemberg, cuyos parámetros se pueden observar en la tabla.
El punto central de la muñeca del robot corresponde al origen del sistema (S5): O5. Por su parte, el punto final del robot será el origen del sistema (S6): O6.
Enseguida se utilizaran los vectores:
El punto central de la muñeca del robot corresponde al origen del sistema (S5): O5. Por su parte, el punto final del robot será el origen del sistema (S6): O6.
Enseguida se utilizaran los vectores:
Pm = O0__O5
Pr = O0__O6
Pr = O0__O6
Que van desde el origen del sistema asociado a la base del robot (S0)hasta los puntos centro de la muñeca y fin del robot, respectivamente.
Puesto que la dirección del eje Z6 debe coincidir con la de Z5 y la distancia entre O5 y O6 medida a lo largo de Z5 es precisamente d4 = I4, se tendrá que:
Puesto que la dirección del eje Z6 debe coincidir con la de Z5 y la distancia entre O5 y O6 medida a lo largo de Z5 es precisamente d4 = I4, se tendrá que:
Pr = ( Px, Py, Pz ) (exp)T
El director Z6 es el vector A correspondiente a la orientación deseada Z6 = ( Ax, Ay, Az ) (exp) T e I4 es un parámetro asociado con el robot. Por lo tanto, las coordenadas del punto central de la muñeca ( Pmx, Pmy, Pmz ) son fácilmente obtenibles.
Es posible, mediante un método geométrico, por ejemplo, calcular los valores de ( q1, q2, q3 ) que consiguen posicionar el robot en el Pm deseado.
Quedan ahora obtener los valores de q4, q5, y q6 que consiguen la orientación deseada. Para ello denominando 0R6 a la submatriz de rotación de 0T6 se tendrá:
0R6 = ( n o a ) = 0R3( 3R6 )
Donde 0R6 es conocida por la orientación deseada del extremo del robot, y 0R3 definida por:
0R3 = 0A1 ( 1A2 ) ( 2A3 )
También lo será a partir de los valores ya obtenidos de q1, q2 y q3. Por lo tanto:
3R6 = ( Rij ) = ( 1 / 0R3 ) ( 0R6 ) = ( 0R )(exp)T ( n o a )
Tendrá sus componentes numéricas conocidas.
Por otra parte, 3R6 corresponde a una submatriz (3X3)de rotación de la matriz de transformación homogénea 3T6 que relaciona el sistema (S3) con el (S6), por lo tanto:
Por otra parte, 3R6 corresponde a una submatriz (3X3)de rotación de la matriz de transformación homogénea 3T6 que relaciona el sistema (S3) con el (S6), por lo tanto:
3R6 = 3R4 ( 4R5 )( 5R6 )
Donde i-1Ri es la submatriz de rotación de la matriz de Denavit-Hartemberg i-1Ai, cuyos valores son:
3R4 |
4R5 |
5R6 |
C4 0 -S4 |
C5 0 S5 |
C6 -S6 0 |
S4 0 C4 |
S5 0 -C5 |
S6 C6 0 |
0 -1 0 |
0 1 0 |
0 0 1 |
Luego se tiene que:
3R6 = |
C4C5C6-S4S6 -C4C5S6-S4C6 C4S5 S4C5C6 + C4S6 -S4C5S6 + C4C6 -S4C5 -S5C6 S5S6 C5 |
Donde Rij, será por valores numéricos conocidos:
Rij = |
C4C5C6-S4S6 -C4C5S6-S4C6 C4S5 S4C5C6 + C4S6 -S4C5S6 + C4C6 -S4C5 -S5C6 S5S6 C5 |
De estas nueve relaciones expresadas se puede tomar las correspondientes a R13, R23, R33, R31, R32:
R13 = C4S5
R23 = -S4C5
R33 = C5
R31 = -S5C6
R32 = S5S6
R23 = -S4C5
R33 = C5
R31 = -S5C6
R32 = S5S6
Del conjunto de ecuaciones es inmediato obtener los parámetros articulares:
q4 = arcsen ( R23 / R33 )
q5 = arccos ( R33 )
q6 = arctg ( -R32 / R31 )
q5 = arccos ( R33 )
q6 = arctg ( -R32 / R31 )
Estas expresiones y teniendo en cuenta que las posiciones de cero son distintas, constituyen la solución completa del problema cinematico inverso del robot articular.
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