La dinámica se ocupa de la relación entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y el movimiento que en el se origina. Por lo tanto, el modelo dinámico de un robot tiene por objeto conocer la relación entre el movimiento del robot y las fuerzas implicadas en el mismo.
Esta relación se obtiene mediante el denominado modelo dinámico, que relaciona matemáticamente:
- La localización del robot definida por sus variables articulares o por las coordenadas de localización de su extremo, y sus derivadas: velocidad y aceleracion.
- Las fuerzas pares aplicados en las articulaciones (o en el extremo del robot).
- Los parámetros dimensiónales del robot, como longitud, masa e inercias de sus elementos.
La obtención de este modelo para mecanismos de uno o dos grados de libertad no es excesivamente compleja, pero a medida que el numero de grados de libertad aumenta, el planteamiento y obtención del modelo se complica enormemente.
Por este motivo no siempre es posible obtener un modelo dinámico expresado de una forma cerrada, esto es, mediante una serie de ecuaciones, normalmente del tipo diferencial de segundo orden, cuya integración permita conocer que el movimiento surge al aplicar unas fuerzas o que fuerzas hay que aplicar para obtener un movimiento determinado.
Por este motivo no siempre es posible obtener un modelo dinámico expresado de una forma cerrada, esto es, mediante una serie de ecuaciones, normalmente del tipo diferencial de segundo orden, cuya integración permita conocer que el movimiento surge al aplicar unas fuerzas o que fuerzas hay que aplicar para obtener un movimiento determinado.
El modelo dinámico debe ser resuelto entonces de manera iterativa mediante la utilización de un procedimiento numérico.
El problema de la obtención del modelo dinámico de un robot es, por lo tanto, uno de los aspectos más complejos de la robótica, lo que ha llevado a ser obviado en numerosas ocasiones. Sin embargo, el modelo dinámico es imprescindible para conseguir los siguientes fines:
El problema de la obtención del modelo dinámico de un robot es, por lo tanto, uno de los aspectos más complejos de la robótica, lo que ha llevado a ser obviado en numerosas ocasiones. Sin embargo, el modelo dinámico es imprescindible para conseguir los siguientes fines:
- Simulación del movimiento del robot.
- Diseño y evaluación de la estructura mecánica del robot.
- Dimensionamiento de los actuadores.
- Diseño y evaluación del control dinámico del robot.
Este ultimo fin es evidentemente de gran importancia, pues de la calidad del control dinámico del robot depende la preescisión y velocidad de sus movimientos.
La gran complejidad ya comentada existente en la obtención del modelo dinámico del robot, ha motivado que se realicen ciertas simplificaciones, de manera que así pueda ser utilizado en el diseño del controlador.
Es importante hacer notar que el modelo dinámico completo de un robot debe incluir no solo la dinámica de sus elementos (barras o eslabones) sino también la propia de sus sistemas de transmisión, de los actuadores y sus equipos electrónicos de mando.
Estos elementos incorporan al modelo dinámico nuevas inercias, rozamientos, saturaciones de los circuitos electrónicos, etc. aumentando aun más su complejidad.
La gran complejidad ya comentada existente en la obtención del modelo dinámico del robot, ha motivado que se realicen ciertas simplificaciones, de manera que así pueda ser utilizado en el diseño del controlador.
Es importante hacer notar que el modelo dinámico completo de un robot debe incluir no solo la dinámica de sus elementos (barras o eslabones) sino también la propia de sus sistemas de transmisión, de los actuadores y sus equipos electrónicos de mando.
Estos elementos incorporan al modelo dinámico nuevas inercias, rozamientos, saturaciones de los circuitos electrónicos, etc. aumentando aun más su complejidad.
Por ultimo, es preciso señalar que si bien en la mayor parte de las aplicaciones reales de robótica, las cargas e inercias manejadas no son suficientes como para originar deformaciones en los eslabones del robot, en determinadas ocasiones no ocurre así, siendo preciso considerar al robot como un conjunto de eslabones no rígidos.
Aplicaciones de este tipo pueden encontrarse en la robótica espacial o en robots de grandes dimensiones.
Modelo dinámico de la estructura de un Robot rígido.
La obtención del modelo dinámico de un mecanismo, y en particular de un robot, se basa fundamentalmente en el planteamiento del equilibrio de fuerzas establecido en la segunda ley de Newton, o su equivalente para movimientos de rotación, la denominada ley de Euler:
F= m dv
T= I dw + w (Iw)
T= I dw + w (Iw)
Así, en el caso simple de un robot monoarticular como el representado en la figura, el equilibrio de fuerzas-pares daría como resultado la ecuación:
t = I (d²q/ dt²) + MgL cos q = ML² d²q + MgL cosq
En donde se ha supuesto que toda la masa se encuentre concentrada en el centro de la gravedad del elemento, que no existe rozamiento alguno y que no se manipula ninguna carga.
Para un par motor t determinado, la integración de la ecuación anterior, daría lugar a la expresión de q(t) y de sus derivadas dq(t) y d²q(t), con lo que seria posible conocer la evolución de la coordenada articular del robot y de su velocidad y aceleración.
De forma inversa, si se pretende que q(t) evolucione según una determinada función del tiempo, sustituyendo en la ecuación anterior, podría obtenerse el par t(t) que seria necesario aplicar. Si el robot tuviese que ejercer alguna fuerza en su extremo, ya sea al manipular una carga o por ejemplo, realizar un proceso sobre alguna pieza, bastaría con incluir esta condición en la mencionada ecuación y proceder del mismo modo.
De forma inversa, si se pretende que q(t) evolucione según una determinada función del tiempo, sustituyendo en la ecuación anterior, podría obtenerse el par t(t) que seria necesario aplicar. Si el robot tuviese que ejercer alguna fuerza en su extremo, ya sea al manipular una carga o por ejemplo, realizar un proceso sobre alguna pieza, bastaría con incluir esta condición en la mencionada ecuación y proceder del mismo modo.
Se tiene así que del planteamiento del equilibrio de fuerzas y pares que intervienen sobre el robot se obtienen los denominados modelos dinámicos directo e inverso:
- Modelo dinámico directo: expresa la evolucion temporal de las coordenadas articulares del robot en funcion de las fuerzas y pares que intervienen.
- Modelo dinámico inverso: expresa las fuerzas y pares que intervienen en funcion de la evolucion de las coordenadas articulares y sus derivadas.
El planteamiento del equilibrio de fuerzas en un robot real de 5 o 6 grados de libertad, es mucho más complicado.
Debe tenerse en cuenta que junto con las fuerzas de inercia y gravedad, aparecen fuerzas de Coriolis debidas al movimiento relativo existente entre los diversos elementos, así como de fuerzas centrípetas que dependen de la configuración instantánea del manipulador.
Debe tenerse en cuenta que junto con las fuerzas de inercia y gravedad, aparecen fuerzas de Coriolis debidas al movimiento relativo existente entre los diversos elementos, así como de fuerzas centrípetas que dependen de la configuración instantánea del manipulador.
La obtención del modelo dinámico de un robot ha sido y es objeto de estudio e investigación. Numerosos investigadores han desarrollado formulaciones alternativas, basadas fundamentalmente en la mecánica Newtoniana y Lagrangiana, con el objeto de obtener modelos manejables por los sistemas de calculo de una manera más eficiente.
Modelado mediante la formulación de Lagrange-Euler.
Uicker en 1965, utilizo la representación de D-H basada en las matrices de transformación homogénea para formular el modelo dinámico de un robot mediante la ecuación de Lagrange.
Este planteamiento utiliza, por tanto, las matrices i-1Ai que relacionan el sistema de coordenadas de referencia del elemento i con el elemento i-1. Se realizan en este caso operaciones de producto y suma innecesarias. Se trata de un procedimiento ineficiente desde el punto de vista computacional.
Este planteamiento utiliza, por tanto, las matrices i-1Ai que relacionan el sistema de coordenadas de referencia del elemento i con el elemento i-1. Se realizan en este caso operaciones de producto y suma innecesarias. Se trata de un procedimiento ineficiente desde el punto de vista computacional.
Puede comprobarse que el algoritmo es de un orden de complejidad computacional O(n²²), es decir, el numero de operaciones a realizar crece con la potencia 4 del numero de grados de libertad. Sin embargo, conduce a unas ecuaciones finales bien estructuradas donde aparecen de manera clara los diversos pares y fuerzas que intervienen en el movimiento.
Se presenta a continuación al algoritmo a seguir para obtener el modelo dinámico del robot por el procedimiento de Lagrange-Euler (L-E).
Se presenta a continuación al algoritmo a seguir para obtener el modelo dinámico del robot por el procedimiento de Lagrange-Euler (L-E).
Algoritmo computacional para el modelado dinámico por Lagrange-Euler.
L-E 1.Asignar a cada eslabón un sistema de referencia de acuerdo a las normas de D-H.L-E 2.Obtener las matrices de transformación 0Ai para cada elemento i.L-E 3.Obtener las matrices Uij definidas por:
Uij = d0Ai / dqj
L-E 4.Obtener las matrices Uijk definidas por:
Uijk = dUij / dqk
L-E 5.Obtener las matrices de pseudo inercias Ji para cada elemento, que vienen definidas por:
Integral de cada uno de los elementos que componen la matriz:
Integral de cada uno de los elementos que componen la matriz:
| Ji = |
X² dm XiYi dm XiZi dm Xi dm YiXi dm Yi² dm YiZi dm Yi dm ZiXi dm ZiYi dm Zi² dm Zi dm Xi dm Yi dm Zi dm dm |
Donde las integrales están extendidas al elemento i considerando, y (Xi Yi Zi) son las coordenadas del diferencial de masa dm respecto al sistema de coordenadas del elemento.
L-E 6.Obtener la matriz de inercias D = (dij) cuyos elementos vienen definidos por:
dij = k=(max i,j)--sigma-->n Traza(Ukj Jk Uki).
Con i, j = 1,2,...,n
n: Numero de grados de libertad.
L-E 7.Obtener los términos hikm definidos por:
n: Numero de grados de libertad.
L-E 7.Obtener los términos hikm definidos por:
hikm = j=(max i,k,m)--sigma-->n Traza(Ujkm Jj Uji).
Con i,k,m = 1,2,...,n
L-E 8.Obtener la matriz columna de fuerzas de Coriolis y centrípeta H = hi cuyos elementos vienen definidos por:
L-E 8.Obtener la matriz columna de fuerzas de Coriolis y centrípeta H = hi cuyos elementos vienen definidos por:
hi = k=1 --sigma-->n m=1 --sigma-->n hikm d qk d qm
L-E 9.Obtener la matriz de fuerzas de gravedad C = ci cuyos elementos están definidos por:
ci = j=1--sigma-->n (-mj g Uji irj)
Con i = 1,2,...,n
g: Es el vector de gravedad expresado en el sistema de la base S0 y viene expresado por (gx, gy, gz, 0) irj : Es el vector de coordenadas homogéneas del centro de masas del elemento j expresado en el sistema de referencia del elemento i.
L-E 10.La ecuación dinámica del sistema será:
g: Es el vector de gravedad expresado en el sistema de la base S0 y viene expresado por (gx, gy, gz, 0) irj : Es el vector de coordenadas homogéneas del centro de masas del elemento j expresado en el sistema de referencia del elemento i.
L-E 10.La ecuación dinámica del sistema será:
t = D d²q + H + C.
Donde t es el vector de fuerzas y pares motores efectivos aplicados sobre cada coordenada qi.
Robot polar de dos grados de libertad.
Modelado mediante la formulación de Newton-Euler.
La obtención del modelo dinámico de un robot a partir de la función Lagrangiana conduce a un algoritmo con un coste computacional de orden O(n²²). Es decir, el numero de operaciones a realizar crece con la potencia cuarta del numero de grados de libertad. En el caso habitual de robots de 6 grados de libertad, este numero de operaciones hace al algoritmo presentado en el tema anterior materialmente inutilizable para ser utilizado en tiempo real.
La formulación de Newton-Euler parte del equilibrio de fuerzas y pares:
sigma F = m dv
sigma T = Iw + w (Iw)
sigma T = Iw + w (Iw)
Un adecuado desarrollo de estas ecuaciones conduce a una formulación recursiva en la que se obtienen la posición, velocidad y aceleración del eslabón i referidos a la base del robot a partir de los correspondientes del eslabón i-1 y del movimiento relativo de la articulación i. De este modo, partiendo del eslabón 1 se llega al eslabón n. Con estos datos se procede a obtener las fuerzas y pares actuantes sobre el eslabón i referidos a la base del robot a partir de los correspondientes al eslabón i+1, recorriéndose de esta forma todos los eslabones desde el eslabón n al eslabón 1.
El algoritmo se basa en operaciones vectoriales (con productos escalares y vectoriales entre magnitudes vectoriales, y productos de matrices con vectores) siendo más eficiente en comparación con las operaciones matriciales asociadas a la formulación Lagrangiana. De hecho, el orden de complejidad computacional de la formulación recursiva de Newton-Euler es O(n) lo que indica que depende directamente del numero de grados de libertad.
El algoritmo se basa en operaciones vectoriales (con productos escalares y vectoriales entre magnitudes vectoriales, y productos de matrices con vectores) siendo más eficiente en comparación con las operaciones matriciales asociadas a la formulación Lagrangiana. De hecho, el orden de complejidad computacional de la formulación recursiva de Newton-Euler es O(n) lo que indica que depende directamente del numero de grados de libertad.
Algoritmo computacional para el modelo dinámico de Newton-Euler.
N-E 1.Asignar a cada eslabón un sistema de referencia de acuerdo a las normas de D-H.N-E 2.Obtener las matrices de rotación i-1Ri y sus inversas iRi-1 siendo:
| i-1Ri = |
Cqi -Cai Sqi Sai Sqi Sqi Cai Cqi -Sai Cqi 0 Sai Cai |
N-E 3Establecer las condiciones iniciales.
Para el sistema de la base S0:
0w0 : velocidad angular = (0,0,0)exp T
0dw0 : aceleracion angular = (0,0,0)exp T
0v0 : velocidad lineal = (0,0,0)exp T
0dv0 : aceleracion lineal = (gx, gy, gz)exp T
0w0, 0dw0 y 0v0 son típicamente nulos salvo que la base del robot este en movimiento.
Para el extremo del robot se conocerá la fuerza y el par ejercidos externamente n+1 Fn+1 y n+1 N n+1.
Z0 = (0,0,1)exp T
iPi = coordenadas del origen del sistema Si respecto a Si-1.= ( ai, di, Si, di, Ci ).
iSi = coordenadas del centro de masas del eslabón i respecto del sistema Si.
iIi = matriz de inercia del eslabón i respecto de su centro de masas expresado en Si.
Para i = 1...n realizar los pasos 4 a 7:
N-E 4.Obtener la velocidad angular del sistema Si.
iwi =
iRi-1 (i-1 wi-1 + Z0 dq1) si el eslabón i es de rotación
iRi (i-1 wi-1) si el eslabón i es de traslación.
iRi-1 (i-1 wi-1 + Z0 dq1) si el eslabón i es de rotación
iRi (i-1 wi-1) si el eslabón i es de traslación.
N-E 5.Obtener la aceleracion angular del sistema Si.
idwi =
iRi-1 (i-1 dwi-1 + Z0 d²q1) si el eslabón i es de rotación
iRi (i-1 dwi-1) si el eslabón i es de traslación.
iRi-1 (i-1 dwi-1 + Z0 d²q1) si el eslabón i es de rotación
iRi (i-1 dwi-1) si el eslabón i es de traslación.
N-E 6.Obtener la aceleracion lineal del sistema i:
idvi =
idwi (iPi) + iwi (iPi) + iRi-1 (i-1 dvi-1) si el eslabon i es de rotación.
iRi-1 (Z0 d²qi + i-1 dvi-1) + idwi (iPi) + 2wi (iRi-1) Z0 (dqi) + iwi (iwi)(iPi) si el es de traslación.
idwi (iPi) + iwi (iPi) + iRi-1 (i-1 dvi-1) si el eslabon i es de rotación.
iRi-1 (Z0 d²qi + i-1 dvi-1) + idwi (iPi) + 2wi (iRi-1) Z0 (dqi) + iwi (iwi)(iPi) si el es de traslación.
N-E 7.Obtener la aceleracion lineal del centro de gravedad del eslabón i:
iAi = idwi (iSi) + iwi (iSi) + idvi
Para i = n...1 realizar los pasos 8 a 10.
N-E 8.Obtener la fuerza ejercida sobre el eslabón i:
N-E 8.Obtener la fuerza ejercida sobre el eslabón i:
iFi = iRi+1 (i+1 Fi+1) + mi ai
N-E 9.Obtener el par ejercido sobre el eslabón i:
iNi =
iRi+1 (i+1ni + (i+1Ri)(iPi)(i+1 Fi+1)) + (iPi + iSi)(mi)(iai) + iIi (idwi) + iwi (iIi)(iwi).
iRi+1 (i+1ni + (i+1Ri)(iPi)(i+1 Fi+1)) + (iPi + iSi)(mi)(iai) + iIi (idwi) + iwi (iIi)(iwi).
N-E 10.Obtener la fuerza o par aplicado a la articulación i.
ti =
(iNi)exp T (iRi-1) Z0. Si el eslabón i es de rotación.
(iFi)exp T (iRi-1) Z0. Si el eslabón i es de traslación.
(iNi)exp T (iRi-1) Z0. Si el eslabón i es de rotación.
(iFi)exp T (iRi-1) Z0. Si el eslabón i es de traslación.
Donde t es el par o fuerza efectivo (par motor menos pares de rozamiento o perturbación).
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