La siguiente ecuación establece el modelo dinámico inverso de un robot, dado los pares y fuerzas que deben proporcionar los actuadores para que las variables articulares sigan una determinada trayectoria q(t):
t = D d²q + H + C
En esta expresión conviene recordar que la matriz de inercias D y la matriz columna de gravedad C dependen de los valores de q, y que la matriz columna de fuerzas de Coriolis y centrípetas H depende de q y dq.
Asimismo, hay que tener presente que el vector de pares generalizados t, presupone pares efectivos, por lo que de existir pares perturbadores o de rozamiento (viscoso o seco) estos deberán ser tenidos en cuenta, siendo:
Asimismo, hay que tener presente que el vector de pares generalizados t, presupone pares efectivos, por lo que de existir pares perturbadores o de rozamiento (viscoso o seco) estos deberán ser tenidos en cuenta, siendo:
t = t (motor) - t (perturbador) - t (rozamiento viscoso) - t (rozamiento seco).
La expresión anterior es por tanto no lineal, no siendo trivial obtener a partir de ella el modelo dinámico directo que proporciona la trayectoria seguida como consecuencia de la aplicación de unos pares determinados t.
Para obtener este modelo directo, así como por su utilidad posterior en el desarrollo de alguna técnica concreta de control, puede ser conveniente obtener el modelo dinámico en variables de estado.
Las variables de estado naturales del sistema serán las posiciones y velocidades de cada una de las articulaciones, siendo por tanto el vector de estado (q, dq) exp(T).
Para obtener este modelo directo, así como por su utilidad posterior en el desarrollo de alguna técnica concreta de control, puede ser conveniente obtener el modelo dinámico en variables de estado.
Las variables de estado naturales del sistema serán las posiciones y velocidades de cada una de las articulaciones, siendo por tanto el vector de estado (q, dq) exp(T).
Modelo dinámico en el espacio de la tarea.
El modelo dinámico obtenido relaciona coordenadas articulares con pares o fuerzas desarrolladas en las articulaciones. En ocasiones es conveniente tener el modelo dinámico expresado como una relación entre la trayectoria del extremo del robot y las fuerzas y pares que en el se aplican, referidos todos a un sistema de coordenadas cartesianas fijo del entorno de trabajo. Cuando los datos (trayectorias, fuerzas, pares, etc.) se dan estas coordenadas, se dice que se trabaja en el espacio de la tarea.
Para obtener esta expresión se partirá de la siguiente ecuación:
dj = J dq
Donde j representa el vector de velocidades cartesianas del extremo del robot referidas al sistema de coordenadas asociado a su base dj = ( dx, dy, dz, da, dß, dg)exp T. Derivando esta expresión se obtiene:
d²j = dJ dq + J d²j ---> d²q = 1/J(d²j) - 1/J (dJ)(dq)
Expresiones que relacionan las aceleraciones cartesianas y articulares de manera directa e inversa.
Por otra parte, partiendo del hecho de que la potencia consumida por el robot debe ser la misma tanto si se evalúa en el espacio cartesiano como en el articular, se tiene:
Por otra parte, partiendo del hecho de que la potencia consumida por el robot debe ser la misma tanto si se evalúa en el espacio cartesiano como en el articular, se tiene:
Potencia = Par velocidad ---> (T)exp T dj = ( t )exp T dq
Donde (T)exp T es el vector de fuerzas y pares ejercidos en el extremo del robot expresado en el sistema de coordenadas de la base y ( t )exp T el vector de fuerzas y pares ejercidas en las articulaciones.
(T)exp T dj = ( t )exp T dq ---> (T)exp T Jdq = ( t )exp T dq --->
(T)exp T J = ( t )exp T ---> t = (J)exp T (T)
(T)exp T J = ( t )exp T ---> t = (J)exp T (T)
Expresión, de destacable utilidad, que relaciona los pares generalizados ejercidos en el extremo del robot con los ejercidos en cada una de las articulaciones.
Sustituyendo expresiones anteriores en la siguiente ecuación:
Sustituyendo expresiones anteriores en la siguiente ecuación:
t = D d²q + H + C
Se tiene:
(J)exp T T = c (1/J) d²j - D(1/J) dJ dq + H + C
T = (1 /(J)exp T) D (1/J) d²j – (1/(J)exp T) D( 1/J ) dJ dq + (1 /(J)exp T) H + (1 /(J)exp T) C
T = Dj d²j + Hj + Cj
con:
Dj = (1 /(J)exp T) D (1/J)
Hj = (1 /(J)exp T) (H - D(1/J) dJ dq)
Cj = (1 /(J)exp T) C
Se tiene:
(J)exp T T = c (1/J) d²j - D(1/J) dJ dq + H + C
T = (1 /(J)exp T) D (1/J) d²j – (1/(J)exp T) D( 1/J ) dJ dq + (1 /(J)exp T) H + (1 /(J)exp T) C
T = Dj d²j + Hj + Cj
con:
Dj = (1 /(J)exp T) D (1/J)
Hj = (1 /(J)exp T) (H - D(1/J) dJ dq)
Cj = (1 /(J)exp T) C
Las ultimas cuatro expresiones definen el modelo dinámico en coordenadas cartesianas o de la tarea de un robot a partir de su modelo dinámico en el espacio articular o de la configuración y de su matriz Jacobiana.
Modelo dinámico de los actuadores.
El modelo dinámico de un robot se compone por una parte del modelo de su estructura mecánica, que relaciona su movimiento con las fuerzas y pares que lo originan, y por otra parte el modelo de su sistema de accionamiento, que relaciona las ordenes de mando generadas en la unidad de control con las fuerzas y pares utilizados para producir el movimiento.
En el tema dedicado a la morfología del robot, se indico que son los actuadores eléctricos de corriente continua los mas utilizados en la actualidad, si bien es notable la tendencia a sustituir estos por motores sin escobillas.
En un caso u otro, el modelo dinámico del actuador responde a ecuaciones similares, por lo que a efectos de establecerlo se considerara el de motor de corriente continua.
Por su parte, los actuadores hidráulicos son usados en robots en los que la relación peso manipulable-peso del robot deba ser elevada.
El modelo dinámico de un actuador hidráulico es significativamente más complejo que el de un actuador eléctrico.
A las características dinámicas del conjunto servo-válvula cilindro (o motor) se le debe incorporar el comportamiento no invariante del fluido (aceite), cuyas constantes dinámicas (índice de Bulk, viscosidad, etc.) varían notablemente con la temperatura.
Por ultimo las propias líneas de transmisión, tuberías o mangueras, que canalizan al fluido desde la bomba a las servo-válvulas y de estas a los actuadotes, pueden influir en el comportamiento dinámico del conjunto.
En el tema dedicado a la morfología del robot, se indico que son los actuadores eléctricos de corriente continua los mas utilizados en la actualidad, si bien es notable la tendencia a sustituir estos por motores sin escobillas.
En un caso u otro, el modelo dinámico del actuador responde a ecuaciones similares, por lo que a efectos de establecerlo se considerara el de motor de corriente continua.
Por su parte, los actuadores hidráulicos son usados en robots en los que la relación peso manipulable-peso del robot deba ser elevada.
El modelo dinámico de un actuador hidráulico es significativamente más complejo que el de un actuador eléctrico.
A las características dinámicas del conjunto servo-válvula cilindro (o motor) se le debe incorporar el comportamiento no invariante del fluido (aceite), cuyas constantes dinámicas (índice de Bulk, viscosidad, etc.) varían notablemente con la temperatura.
Por ultimo las propias líneas de transmisión, tuberías o mangueras, que canalizan al fluido desde la bomba a las servo-válvulas y de estas a los actuadotes, pueden influir en el comportamiento dinámico del conjunto.
Motor eléctrico de corriente continua.
Un accionamiento eléctrico de corriente continua consta de un motor de corriente con Continua por una etapa de potencia y controlado Por un dispositivo analógico o digital.
El modelado del motor de corriente continua controlado por inducido
Cuando el rotor gira, se introduce en el una tensión eb directamente proporcional a la velocidad angular y que se conoce como fuerza contraelectromotriz
El modelado del motor de corriente continua controlado por inducido
Cuando el rotor gira, se introduce en el una tensión eb directamente proporcional a la velocidad angular y que se conoce como fuerza contraelectromotriz
eb = kb dq.
La velocidad de giros se controla mediante la tensión ea, salida del amplificador de potencia. La ecuación diferencial del circuito del motor es:
La di + Ri + eb = ea.
Por otra parte, el motor desarrolla un par proporcional al producto del flujo en el entrehierro Ý y la intensidad i, siendo el flujo en el entrehierro:
y = kf (if)
Donde if es la corriente de campo. De esta manera, la expresión del par desarrollado por el motor es el siguiente:
t = k1 i y
Para una corriente de campo if constante, el flujo se vuelve constante, y el par es directamente proporcional a la corriente que circula por el rotor:
t = kp i
Este par se emplea para vencer la inercia y la fricción, además de posibles pares perturbadores:
J d²q + B dq = t - tp
Por lo tanto, las ecuaciones del motor de corriente continua controlado por inducción son:
eb = kb dq
( Ls + R )i + eb = eat = kp i
dq = ( t - tp ) / ( Js +B )
( Ls + R )i + eb = eat = kp i
dq = ( t - tp ) / ( Js +B )
Donde todas las variables son en transformada de Laplace.
Para el control del motor se incluyen las etapas de potencia y control, utilizándose realimentación de intensidad y velocidad, tal y como se presenta en la figura anterior.
En la siguiente figura se ha representado el diagrama de bloques correspondiente haciendo uso de funciones de transferencia, donde pueden realizarse ciertas simplificaciones:
Para el control del motor se incluyen las etapas de potencia y control, utilizándose realimentación de intensidad y velocidad, tal y como se presenta en la figura anterior.
En la siguiente figura se ha representado el diagrama de bloques correspondiente haciendo uso de funciones de transferencia, donde pueden realizarse ciertas simplificaciones:
G1 = K ( s + a / s + b )
G2 = k2
L = 0
J, B : Inercia y rozamiento viscoso vistos a la salida del eje del rotor.
G2 = k2
L = 0
J, B : Inercia y rozamiento viscoso vistos a la salida del eje del rotor.
Las simplificaciones del anterior diagrama permiten obtener:
dq(s) / u(s) = kp k1 k2 / ( R + k1 k2 )( Js + B ) + kp( kb + kt k1 k2 ) = km / ( Tms + 1 )
T(s) / u(s) = kp k1 k2( Js + B ) / ( R + k1 k2 )( Js + B ) + kp( kb + kt k1 k2 )
T(s) / u(s) = kp k1 k2( Js + B ) / ( R + k1 k2 )( Js + B ) + kp( kb + kt k1 k2 )
Se observa, por lo tanto, que el comportamiento tensión velocidad del motor de corriente continua responde al de un sistema de primer orden. En cuanto a la relación tensión-par, responde a un par polo-cero. En la practica, la calidad de los motores utilizados en servo accionamientos y las elevadas prestaciones de sus sistemas de control, hace que esta relación pueda considerarse casi constante (sin la dinámica propia de los polos y ceros).
Motor hidráulico con servo válvula.
La introducción de sistemas electrónicos analógicos, y recientemente digitales, para el control de las válvulas de distribución de caudal utilizadas en los accionamientos hidráulicos (lineales y rotativos), ha permitido la evolución de las válvulas proporcionales a las servo válvulas, consiguiendo que el comportamiento dinámico de los actuadores hidráulicos tenga la calidad adecuada para ser utilizada en servomecanismos, y en especial en la robótica.
En conjunto equipo electrónico, servo válvula y motor hidráulico puede ser modelado en una versión simplificada según las siguientes ecuaciones:
Equilibrio de pares:
En conjunto equipo electrónico, servo válvula y motor hidráulico puede ser modelado en una versión simplificada según las siguientes ecuaciones:
Equilibrio de pares:
t = J d²q + B dq + tp
Par desarrollado por el motor:
t = kp Dp
Continuidad de caudales:
Q1 = dv1 + Qf + Qc
Caudal de fuga:
Qf = kf Dp
Perdida de caudal por compresión del fluido:
Qc = kc Ddp
Electrónica de mando de la corredera de la servo válvula:
Y = g( u )
Caudal suministrado por la servo válvula:
Q1 = f(y) ( Dp )½
Donde:
q: Ángulo girado por la paleta (y el eje) del rotor.t : par proporcionado por el motor.tp : par externo perturbador.
J, B: Inercia y constante de rozamiento viscoso (de motor y carga) asociados a la articulación.
Dp : diferencia de presión entre las dos cámaras del motor.
Q1 : caudal proporcionado por la servo válvula (entrada al motor).
Qf : caudal que se fuga entre las dos cámaras del motor.
Qc : caudal perdido por la compresibilidad del fluido.
v1 : volumen en la cámara de entrada del motor.
y : posición de la corredera de la servo válvula.
u : tensión de referencia a la electrónica de mando de la servo válvula.
kp, kf y kc se consideran constantes.
El dispositivo electrónico de mando de la corredera de la válvula se diseña con el objetivo de que la relación entre señal de mando (u) y posición de la corredera ( y ) sea lo mas parecida posible a una constante.
Si bien este objetivo no es del todo alcanzable, existiendo siempre una cierta dinámica en dicha relación, la velocidad de la misma es muy superior a la dinámica propia del accionamiento hidráulico y de la articulación, por lo que puede ser considerada como constante.
Por este motivo la relación y = g(u), se sustituye por:
q: Ángulo girado por la paleta (y el eje) del rotor.t : par proporcionado por el motor.tp : par externo perturbador.
J, B: Inercia y constante de rozamiento viscoso (de motor y carga) asociados a la articulación.
Dp : diferencia de presión entre las dos cámaras del motor.
Q1 : caudal proporcionado por la servo válvula (entrada al motor).
Qf : caudal que se fuga entre las dos cámaras del motor.
Qc : caudal perdido por la compresibilidad del fluido.
v1 : volumen en la cámara de entrada del motor.
y : posición de la corredera de la servo válvula.
u : tensión de referencia a la electrónica de mando de la servo válvula.
kp, kf y kc se consideran constantes.
El dispositivo electrónico de mando de la corredera de la válvula se diseña con el objetivo de que la relación entre señal de mando (u) y posición de la corredera ( y ) sea lo mas parecida posible a una constante.
Si bien este objetivo no es del todo alcanzable, existiendo siempre una cierta dinámica en dicha relación, la velocidad de la misma es muy superior a la dinámica propia del accionamiento hidráulico y de la articulación, por lo que puede ser considerada como constante.
Por este motivo la relación y = g(u), se sustituye por:
y = k1(u)
Por otra parte, la relación entre la posición de la corredera de la válvula, la diferencia de presiones y el caudal suministrado es en principio no lineal. Linealizando entorno a un punto de funcionamiento se obtiene:
Q1 = ( k2 ) y - ( ki ) Dp
Por lo tanto, la relación entre la señal de mando (u), el caudal Q1 y al presión diferencial Dp será:
Q1 = k1 ( u ) - ki ( Dp )
por ultimo, la velocidad de variación de volumen en la cámara del motor dv1 será proporcional a la velocidad de giro de la paleta, luego:
dv1 = kb dq
Con lo que las ecuaciones 3, 4 y 5, podrían agruparse como:
Q1 = ( kb ) dq + ( kf ) Dp + ( kc ) Ddp.
Transformando por Laplace las ecuaciones, se obtiene el diagrama de bloques de la figura, que como se observa presenta una absoluta analogía con el correspondiente a un accionamiento eléctrico salvo por la realimentación de velocidad de giro del actuador presente en aquel. Esta ultima puede ser incluida en la electrónica de mando, siendo entonces el modelado de ambos actuadores equivalente aunque con características dinámicas y posibilidades diferentes.
En el caso de utilizar un cilindro hidráulico el modelado se hace mas complicado, motivado entre otras razones por la diferencia de áreas del embolo en ambas cámaras, lo que hace que su funcionamiento a extensión y retracción sea notablemente diferente.
En el caso de utilizar un cilindro hidráulico el modelado se hace mas complicado, motivado entre otras razones por la diferencia de áreas del embolo en ambas cámaras, lo que hace que su funcionamiento a extensión y retracción sea notablemente diferente.
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